拉格朗日中值定理简述

拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了函数在区间内的平均变化率与它在该区间内某一点处的导数之间的关系。拉格朗日中值定理在求解实际问题中具有重要的作用，常被用于证明其他定理、解决极值等问题。

定理的叙述

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$内连续，在$(a,b)$内可导，那么存在某一点$c\in (a,b)$，使得：

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$

其中，$f(b)-f(a)$表示函数$f(x)$在区间$[a,b]$内的变化量，$f'(c)$表示函数$f(x)$在某一点$c\in (a,b)$的导数。

定理的证明

拉格朗日中值定理的证明需要用到罗尔定理。因为$f(x)$在区间$[a,b]$内连续，在两个端点处的取值相等，即$f(a)=f(b)$。假设$f(x)$在区间$[a,b]$内出现了两个不同的最大值或最小值，则这两个点分别可以被命名为$c_1$和$c_2$。因为$f(c_1)=f(c_2)$，所以根据罗尔定理，存在一个$c\in (c_1,c_2)$，使得$f'(c)=0$。

如果$f(x)$在区间$[a,b]$内不存在最大值或最小值，则可以将$f(x)$看成是常数，此时$f'(c)=0$。综上所述，定理结论成立。

应用举例

举个例子，假设一条汽车道路长$100$公里，起点速度为$0$米/秒，终点速度为$100$米/秒，试证明存在一点，使得这段路程上汽车的速度为$50$米/秒。

设汽车在经过$t$秒后的速度为$v(t)$，则根据导数的定义有：

$$v'(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta v}{\Delta t}$$

由于这条车道是一条直线，汽车的速度变化率可以看作是速度对时间的一阶导数，根据拉格朗日中值定理，存在一个时间$t_0\in(0,1)$，使得：

$$v(100)-v(0)=v'(t_0)\times 100$$

由于汽车行驶的距离为$100$公里，所以速度的平均变化率为：

$$\frac{v(100)-v(0)}{100}=\frac{100\text{ m/s}-0\text{ m/s}}{100\text{ km}}=1\text{ m/s/km}$$

因为汽车存在速度变化，所以它的平均速度会小于等于它的终点速度$100$米/秒，即：

$$\frac{v(100)-v(0)}{100}\leq 1\implies v(100)\leq 100\text{ m/s}$$

同样地，汽车的平均速度会大于等于它的起点速度$0$米/秒，因此存在一个时间$t_0\in(0,1)$，使得$v(t_0)=50\text{ m/s}$。这就是利用拉格朗日中值定理证明汽车在这条路上存在速度为$50$米/秒的任意时刻。

结论

拉格朗日中值定理揭示了函数在区间内的平均变化率与它在该区间内某一点处的导数之间的关系，常常用于解决函数的极值、验证其他定理等问题。该定理为微积分学中的基础性定理，对于深入理解微积分理论起到了重要的作用。